Математика. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
О явном решении краевой задачи типа Неймана для обобщенных аналитических функций в единичном круге
Статья научная
Для качественного исследования краевых задач в тех или иных классах функций комплексного переменного существенное значение имеет проблема разрешимости этих задач в явном виде, т. е. возможности построения общих решений рассматриваемых задач, используя лишь формулы решения классических скалярных краевых задач Римана или Гильберта для аналитических функций, а также решая конечное число систем линейных алгебраических уравнений и/или линейных дифференциальных уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в квадратурах. В представленной статье рассматривается на комплексной плоскости одно семейство дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с коэффициентом при искомой функции, зависящим от натурального параметра n, а решения которого принято называть обобщенными аналитическими функциями порядка n. Кроме того, в статье сформулирована общая постановка краевой задачи типа Неймана для обобщенных аналитических функций произвольного порядка n, а также получен явный метод решения поставленной краевой задачи в классе обобщенных аналитических функций первого порядка в случае, когда носителем краевых условий является единичная окружность. Установлено, что в рассматриваемом случае решение задачи типа Неймана для обобщенных аналитических функций первого порядка редуцируется к последовательному решению простейшей скалярной задачи Римана в классе ограниченных на бесконечности кусочно аналитических функций и одного линейного дифференциального уравнения Эйлера второго порядка, т. е. искомая задача в рассматриваемом случае допускает полное описание картины ее разрешимости. Полученные общие результаты иллюстрируются на конкретном примере.
Бесплатно
Об аналоге задачи Трикоми для уравнения третьего порядка смешанного типа
Статья научная
Как известно, уравнениями смешанного типа называются уравнения в частных производных, которые принадлежат разным типам в разных частях рассматриваемой области. Например, в одной части области уравнение может принадлежать эллиптическому, а в другой - гиперболическому типу; эти части разделены линией перехода, на которой уравнение вырождается в параболическое или не определено. В 1923 г. итальянский математик Ф. Трикоми рассмотрел краевую задачу для одного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа (впоследствии названного его именем) в области, ограниченной в верхней полуплоскости ляпуновской кривой, а в нижней - выходящими из концов этой кривой характеристиками уравнения; краевые условия при этом ставились на кривой и на одной из характеристик. Решение должно было быть непрерывным в замыкании области, непрерывно дифференцируемым внутри нее и дважды непрерывно дифференцируемым в верхней (эллиптической) и нижней (гиперболической) подобластях; для первых производных решения допускались особенности интегрируемого порядка вблизи концов кривой. Ф. Трикоми доказал существование и единственность решения поставленной задачи в указанном классе; при доказательстве существования он свел задачу к сингулярному интегральному уравнению. В данной статье исследован аналог задачи Трикоми для одного смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка со спектральным параметром. Доказаны единственность и существование решения поставленной задачи. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование решения - методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого вытекает из единственности решения задачи.
Бесплатно
Об идентификации коэффициента теплообмена в слоистой среде
Статья научная
Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратных задач об определении коэффициента теплообмена на границе раздела сред, входящего в условие сопряжения типа неидеального контакта. В цилиндрической пространственной области рассматривается параболическое уравнение второго порядка. Область делится на две подобласти, на общей части границы которых задается условие сопряжения. Коэффициент теплообмена, входящий в условие сопряжения, ищется в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами Фурье, зависящими от времени. Уравнение дополняется краевыми условиями общего вида и начальными условиями, а также условиями переопределения. Условия переопределения - значения решения в некотором наборе точек, лежащих в пространственной области. При естественных условия гладкости на данные и расположение точек замеров показана локальная по времени теорема существования и единственности решений. Полученное решение является регулярным, т. е. все обобщенные производные, входящие в уравнение, суммируемы с некоторой степенью и уравнение выполняется почти всюду. Метод является конструктивным, и на основе предложенного подхода возможно построение численных методов решения задачи. Доказательство основано на получаемых априорных оценках и теореме о неподвижной точке.
Бесплатно
Об обобщенной краевой задаче для линейных уравнений соболевского типа на графе
Статья научная
На геометрическом графе рассматривается краевая задача, где помимо условий непрерывности и баланса потоков, впервые вводится условие неподвижности в вершине графа, которое превращается в условие Дирихле, когда граф содержит одно ребро с двумя вершинами. При решении этой задачи сначала рассматривается соответствующая задача Штурма-Лиувилля, а затем полученные результаты применяются для решения задачи Коши двух линейных моделей, заданных на графе: уравнения Хоффа и уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной. Особенностью работы является и тот факт, что на каждом ребре графа задаются уравнения с различными коэффициентами, что вкупе с введением неподвижных вершин графа является впервые рассматриваемой задачей. Обе модели относятся к уравнениям соболевского типа, изучение которых переживает эпоху своего расцвета. Проведенная редукция этих уравнений к абстрактному уравнению соболевского типа позволила применить метод вырожденных полугрупп операторов. Найдено фазовое пространство решений методом фазового пространства, заключающимся в сведении сингулярного уравнения к определенному на некотором подпространстве исходного пространства регулярному уравнению. Полученные результаты теорем могут быть применены при рассмотрении обратных задач, задач оптимального управления, начально-конечных и многоточечных задач, а также при рассмотрении стохастических уравнений для моделей, заданных на геометрическом графе.
Бесплатно
Об обработке зашумленных контрастных изображений
Статья научная
Рассматривается проблема подавления шума на резком перепаде яркости в цифровых зашумленных контрастных изображениях. Цифровые изображения, получаемые при оцифровке аналогового сигнала цифровой фотоматрицей, помимо полезного сигнала имеют шумовую составляющую. Причем для получения привычного нам цифрового изображения в стандартной цветовой модели RGB к изображению полученному с цифровой фотоматрицы необходимо применить интерполяционный алгоритм, называемый демозаикой. Вследствие таких преобразований гауссовость распределения шума в цифровом зашумленном изображении нарушается. Использование стандартной модели представления изображения в цифровом виде для подавления шума является не целесообразным. Для более эффективного подавления шума цифровое изображение переводится из цветовой модели RGB в цветовую модель HSV или LAB, в которых можно отдельно фильтровать яркостную и цветовую составляющую цифрового шума. Подавление цветового шума происходит в цветовых каналах изображения с применением фильтра Гаусса. Подавление шума в яркостном канале цифрового изображения является более сложной задачей, в особенности на границе резкого перепада яркостей. Для подавления яркостного шума в контрастных изображениях предлагается использовать нелинейный фильтр на основе обобщенного метода наименьших модулей (ОМНМ). Описан процесс сглаживания контрастного зашумленного перепада ОМНМ-фильтром и показана его эффективность в сравнении с медианной фильтрацией.
Бесплатно
Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка
Статья научная
Предлагается методика изучения разрешимости обратной задачи для системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. С помощью нелинейного метода характеристик, основанного на введение дополнительного параметра, задача Коши сводится к изучению системы для нелинейных интегральных уравнений. Для решения обратной задачи восстанавливаемые функции находятся из системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с помощью нелинейного интегрального преобразования.
Бесплатно
Об одной задаче импульсного преследования
Статья научная
Найдено оптимальное время преследования в линейной дифференциальной игре второго порядка с импульсным управлением. Построены оптимальные управления игроков.
Бесплатно
Об одной задаче определения правой части интегро-дифференциального уравнения в частных производных
Статья научная
Как нам известно, в обратной задаче кроме искомого «основного» решения задачи (т. е. решения прямой задачи) нам неизвестны какие-либо входящие в прямую задачу. Требуется найти и этих неизвестных, поэтому их тоже мы будем называть решениями обратной задачи. Для определения этих неизвестных в обратной задаче к заданным уравнениям добавляется какая-либо дополнительная информация о решении прямой задачи. Дополнительную информацию называют данными обратной задачи. В предлагаемой статье рассматривается конкретное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с известными начальными и краевыми условиями. Для простоты исследовали однородные краевые условия, так как с помощью линейного преобразования всегда неоднородные краевые условия можно привести к однородным. В правой части уравнения присутствуют n неизвестных функций: φi(t), i = 1,2,…,n. Для определения этих неизвестных функций: φi(t), i = 1, 2,…, n в обратной задаче имеется дополнительная информация о решении прямой задачи, т.е. нам известны значения искомого «основного» решения задачи в внутренних отрезках исследуемой области, т. е. u(t,xi) = gi(t), t∈[0,T], xi∈(0,1), i = 1, 2,…, n. Задача исследуется в прямоугольнике, расположенном в первой четверти декартовой системы координат. Для решения обратной задачи разработан алгоритм, в результате найдены достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи по восстановлению правой части в интегро-дифференциальном уравнении в частных производных четвертого порядка. При решении обратной задачи использованы методы: преобразования, функций Грина, решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра. В итоге обратную задачу мы приводим к системе (n + 1) линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, решение которого при малом 0 function show_abstract() { $('#abstract1').hide(); $('#abstract2').show(); $('#abstract_expand').hide(); }
Бесплатно
Об одной задаче преследования при наличии сопротивления среды
Статья научная
Рассматривается задача преследования двух движущихся материальных объектов - перехватчика (преследователя) и цели (убегающего). Объекты движутся в одной плоскости под действием управляемых сил, направленных всегда перпендикулярно их скоростям. Законы изменения величин управляемых сил перехватчика и цели определяются контроллерами первого порядка. Кроме того, на объекты действуют силы сопротивления среды, пропорциональные квадратам скоростей. В рассматриваемой задаче построено управление, гарантирующее встречу.
Бесплатно
Об одной задаче типа Дирихле для уравнения составного типа
Статья научная
Исследуется краевая задача для класса уравнений третьего порядка составного типа с эллиптическим оператором в главной части. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения для рассматриваемых задач. Доказательство основано на энергетических неравенствах и на теории интегральных уравнений фредгольмовского типа.
Бесплатно
Об одной задаче управления движущейся тележкой с находящимся на ней упругим стержнем
Статья научная
Рассматривается задача управления процессом продольных колебаний упругого однородного стержня постоянного сечения. Под стержнем понимается тело, длина которого значительно превышает его поперечные размеры. Стержень лежит на движущейся тележке, правый конец которого жестко закреплен, а левый конец свободен. Трение между стержнем и поверхностью тележки в рассматриваемой задаче отсутствует. При движении тележки стержень совершает вынужденные продольные колебания в неинерциальной системе отсчета связанной с тележкой. Управлением является ускорение тележки, величина которого ограничена. Границы ее допустимых значений заданы. Величина совокупности внешних сил, действующих на стержень, точно не известна, а заданы только её границы изменения. Цель процесса управления заключается в том, чтобы в заданный момент времени среднее значение величины растяжения стержня находилось в заданном промежутке. Это среднее значение вычисляется с помощью заданной функции. Для решения поставленной задачи был применен метод оптимизации гарантированного результата. Был осуществлен переход к новой одномерной переменной, с помощью которой рассматриваемая задача управления продольными колебаниями стержня была сведена к однотипной задаче управления при наличии помехи. Это позволило найти необходимые и достаточные условия, при которых можно осуществить выполнение поставленной цели при любой допустимой совокупности внешних сил, суммарная величина которых удовлетворяет заданным ограничениям. Предложен соответствующий алгоритм построения закона изменения ускорения тележки. Разобран пример, наглядно показывающий, как строится управление тележкой, гарантирующее достижение поставленной цели.
Бесплатно
Об одной игре импульсной встречи с терминальным множеством в форме кольца
Статья научная
Построены оптимальные управления игроков в линейной дифференциальной игре с импульсным управлением.
Бесплатно
Об одной игровой задаче управления точками вблизи поверхности Луны
Статья научная
Рассматривается игровая задача управления, в которой первый игрок управляет материальной точкой переменного состава. Второй игрок управляет точкой, которая может двигаться с ограниченной по величине скоростью. Предполагается, что на материальную точку переменного состава, наряду с управляемой реактивной силой, действует еще постоянная сила, величина которой пропорциональна массе точки. Такая ситуация возникает, например, при рассмотрении движения материальной точки вблизи поверхности Луны, где отсутствует атмосферное сопротивление. Считается, что у точки переменного состава величина относительной скорости отделяющихся частиц топлива является постоянной, а величина тяги ограничена сверху заданным положительным числом. Первый игрок стремится минимизировать в заданный момент времени расстояние между точками, расходуя при этом как можно меньше ресурсов. Сформулированная двухкритериальная задача с помощью весовых коэффициентов сводится к дифференциальной игре, плата в которой является суммой как терминальной, так и интегральной составляющих. С помощью замены переменных задача сводится к однотипной игре, в которой вектограммы игроков являются шарами с радиусами, зависящими от времени. Вычислена функция цены игры и найдены оптимальные управления игроков.
Бесплатно
Об одной линейной задаче управления при наличии помехи
Статья научная
Рассматривается линейная задача управления при наличии воздействия со стороны неконтролируемой помехи. Её значения принадлежат компакту. Управление ищется в виде произведения скалярной функции на векторную функцию. Терминальная часть платы зависит от модуля линейной функции вектора состояния. Интегральная составляющая платы является интегралом на отрезке от степени скалярной функции. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых допустимое управление является оптимальным.
Бесплатно
Об одной модели рынка и ее гарантированном по выигрышам и рискам решении
Краткое сообщение
Рассмотрена математическая модель рынка бесконечно делимого продукта с двумя товаропроизводителями и учетом возможности неожиданного появления импортера, представляющая собой кооперативную игру с побочными платежами и при неопределенности. Для данной игры найдено гарантированное по выигрышам и рискам решение.
Бесплатно
Об одной модификации равновесия по Нэшу
Статья научная
К концу прошлого века в математической теории дифференциальных позиционных игр (ДПИ) утвердились четыре направления: бескоалиционный вариант ДПИ, кооперативный, иерархический и, наконец, наименее изученный коалиционный вариант ДПИ. В свою очередь, внутри коалиционного обычно выделяются игры с трансферабельными выигрышами (с побочными платежами, когда игроки в течение игры могут делиться своими выигрышами) и нетрансферабельными выигрышами (игры с побочными платежами, когда такие перераспределения отсутствуют по тем или иным причинам). Исследования коалиционных игр с побочными платежами сосредоточены и активно ведутся на факультетах прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербургского госуниверситета и института математики и информационных технологий Петрозаводского госуниверситета (профессора Л.А. Петросян, В.В. Мазалов, Е.М. Парилина, А.Н. Реттиева и их многочисленные ученики). Однако побочные платежи не всегда присутствуют даже в экономических взаимодействиях, более того, побочные платежи могут быть вообще запрещены законодательно. Предпринятые нами в последние годы исследования равновесия угроз и контругроз (санкций и контрсанкций) в бескоалиционных дифференциальных играх позволяют, на наш взгляд, охватить и некоторые аспекты нетрансферабельного варианта коалиционных игр. Как раз вопросам внутренней и внешней устойчивости коалиций в классе ДПИ и посвящена настоящая статья. В ней выявлены коэффициентные ограничения в математической модели дифференциальной позиционной линейно-квадратичной игре шести лиц с двухкоалиционной структурой, при которых эта коалиционная структура внутренне и внешне устойчива.
Бесплатно
Об одной неклассической задаче для уравнения Гельмгольца
Статья научная
Рассматривается краевая задача для уравнения Гельмгольца в единичном шаре, имеющая нормальные производные высокого порядка в граничных условиях. Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях разрешимости этой задачи.
Бесплатно
Об одной нелокальной обратной краевой задаче для параболического уравнения второго порядка
Статья научная
Исследуется разрешимость обратной краевой задачи с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени, для параболического уравнения второго порядка с неклассическими краевыми условиями. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области. Дается определение классического решения поставленной задачи. Сначала рассматривается вспомогательная обратная краевая задача и доказывается эквивалентность (в определенном смысле) исходной задачи. Для исследования вспомогательной обратной краевой задачи сначала используется метод разделения переменных. Далее, рассматривается спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными условиями второго рода. После применения формальной схемы метода разделения переменных решение прямой краевой задачи (при заданной неизвестной функции) сводится к решению задачи Коши. После этого решение задачи Коши сводится к решению некоторой счетной системы интегро-дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Фурье. В свою очередь, последняя система относительно неизвестных коэффициентов Фурье записывается в виде одного интегро-дифференциального уравнения относительно искомого решения. Затем, используя соответствующие дополнительные условия обратной вспомогательной краевой задачи, для определения неизвестных функций получаем систему двух нелинейных интегральных уравнений. Таким образом, решение вспомогательной обратной краевой задачи сводится к системе двух нелинейных интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций. Строится конкретное банохово пространство. Далее, в шаре из построенного банохового пространства с помощью сжатых отображений доказывается разрешимость системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, которая также является единственным решением вспомогательной обратной краевой задачи. Используя эквивалентность задач, получены существование и единственность классического решения исходной задачи.
Бесплатно
Об одной скалярной форме двумерной задачи Шварца и ее применениях
Статья научная
Изучена задача Шварца для 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису с матрицей J, имеющей разные собственные числа. Проведена редукция задачи Шварца к равносильной граничной задаче для скалярного функционального уравнения. Эта редукция применена для доказательства трех теорем существования и единственности решений задачи Шварца в областях, ограниченных контуром Ляпунова.
Бесплатно
Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций
Краткое сообщение
В работе получен алгоритм решения одной из основных четырехэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно-бианалитических функций, линией скачков которых является единичная окружность, указаны условия, при которых решение задачи может быть получено конструктивно и явно в интегралах типа Коши. Исследована картина разрешимости задачи и установлена ее нетеровость.
Бесплатно
