Математика. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
О различных подходах к решению обратных граничных задач тепловой диагностики
Статья научная
Рассмотрены некоторые задачи тепловой диагностики, сводящиеся к обобщенной задаче, для решения которой был использован метод проекционной регуляризации. Построен алгоритм численного решения задачи. Полученные результаты проверены на модельных примерах.
Бесплатно
О решении в квадратных радикалах алгебраических уравнений малых степеней
Статья научная
Посвящена поиску конструктивных аналитических выражений корней алгебраических уравнений третьей-шестой степени через коэффициенты уравнений. Получены соотношения для коэффициентов, при которых корни уравнений представляются наиболее просто, например, рационально. Даны рациональные выражения для кратных корней. Найдено условие, при котором полином шестой степени в каноническом виде представим произведением полиномов третьей степени в каноническом виде. Особое внимание уделялось символьному выражению корней уравнений через квадратные радикалы из коэффициентов. Предложен способ решения уравнений с помощью определяющих (порождающих, связанных с исходным) уравнений. Все представленные разложения справедливы для полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается задача восстановления граничного условия по дополнительной информации о решении параболического уравнения. Приближенное решение поставленной задачи строится методом вспомогательных граничных условий с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева [1] и с использованием одной из схем апостериорного выбора параметра регуляризации. Получена точная по порядку оценка погрешности построенного приближенного решения на одном из классов равномерной регуляризации.
Бесплатно
О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения
Статья научная
Рассматривается обратная граничная задача для параболического уравнения. Для построения устойчивых приближенных решений данной задачи используется метод квазиобращения, состоящий в замене исходной задачи задачей для гиперболического уравнения с малым параметром. Получена точная по порядку оценка погрешности данного метода на одном из классов равномерной регуляризации.
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциального уравнения. Устойчивое приближенное решение данной нелинейной некорректно поставленной задачи строится методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева. Получена точная по порядку оценка погрешности этого метода на одном из классов корректности.
Бесплатно
О решении одной граничной обратной задачи для параболического уравнения
Статья научная
Рассматривается задача восстановления граничных условий третьего рода по дополнительной информации о решении параболического уравнения. Рассматривается метод приближенного решения поставленной задачи с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева [1] и с использованием одной из схем апостериорного выбора параметра регуляризации. Получена точная по порядку оценка погрешности построенного приближенного решения на одном из классов равномерной регуляризации.
Бесплатно
О решении одной обратной задачи тепловой диагностики
Статья научная
Рассмотрена обратная граничная задача математической физики. Для ее решения использован оптимальный по порядку метод проекционной регуляризации. Для приближенного решения этой задачи получены оценки погрешности.
Бесплатно
Статья научная
Статья посвящена разработке конструктивного алгоритма решения трехэлементной односторонней краевой задачи со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в единичном круге в случае, когда рассматриваемая задача не вырождается в двухэлементную краевую задачу без сдвига.
Бесплатно
О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени
Статья научная
Рассмотрена однородная задача Шварца для вектор-функций, аналитических по Дуглису. Данные функции являются решениями однородной эллиптической системы в частных производных первого порядка, которая зависит от матрицы с комплексными коэффициентами. Предполагается, что определитель комплексной части этой матрицы отличен от нуля. Показано, что реальная часть функции, аналитической по Дуглису, будет решением некоторой однородной системы второго порядка в частных производных. Зная решение задачи Дирихле для данной системы, можно построить решение задачи Шварца, соответствующее исходной матрице. Нужное решение задачи Дирихле ищем в виде вектор-полинома второй степени с линейно зависимыми компонентами. После подстановки такой функции в полученную систему уравнений в частных производных получаем однородную вещественную алгебраическую систему. Эта система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая к нулю соответствующий определитель, получаем алгебраическое уравнение с двумя переменными. Далее доказывается основная теорема о том, что существование произвольного ненулевого вещественного решения данного алгебраического уравнения является необходимым и достаточным условием существования соответствующего исходной матрице решения однородной задачи Шварца в виде вектор-полинома второй степени. В заключение статьи построен пример.
Бесплатно
О связи достаточных условий регуляризуемости интегральных уравнений
Статья научная
Исследуется одна бесконечная серия достаточных условий регуляризуемости интегральных уравнений. Доказано, что любые два из этих условий не являются эквивалентными, даже если ограничиться уравнениями с гладкими ядрами.
Бесплатно
О слабых решениях нагруженного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями
Статья научная
Рассматривается смешанная задача с однородными краевыми условиями для нагруженного волнового уравнения, содержащего интеграл по пространственной переменной от натуральной степени модуля решения. Вводится определение слабого решения данной задачи, для которого исследуются вопросы существования и единственности. Для доказательства существования решения используется метод компактности, который формально заключается в том, что при доказательстве сходимости приближенного решения, построенного методом Галеркина, существенно используются вполне непрерывные вложения пространств Соболева. Для использования метода необходимы априорные оценки решения задачи, которые частично установлены в предыдущих работах автора и в предлагаемой статье. Вслед за этим строятся приближенные галеркинские решения. Существование приближенных решений доказывается с помощью теоремы существования для обыкновенных дифференциальных уравнений. После этого производится предельный переход, соответствующий устремлению размерности пространства к бесконечности. Здесь возникает основная трудность применения метода, связанная с нелинейностью уравнения и состоящая в доказательстве компактности семейства приближенных решений. Для этого используются теоремы о компактности вложения пространств Соболева заданного порядка в пространства Соболева меньшего порядка. Единственность слабого решения доказывается стандартной процедурой из теории линейных и нелинейных гиперболических уравнений.
Бесплатно
Статья научная
Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего суперпозицию параболического и эллиптического операторов в левой части уравнения и отражающего отклонение в правой нелинейной части данного уравнения. С помощью метода разделения переменных задача сводится к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений, однозначная разрешимость которой доказывается методом последовательных приближений.
Бесплатно
О способах повышения точности расчета ударных волн
Статья научная
Рассматривается неоднородный разностный метод расчета ударных волн в Лагранжевых координатах. Метод позволяет явно выделять в решении ударные волны в виде разрывов первого рода. Предлагаются способы повышения точности расчета выделенных ударных волн в рамках этого метода. В частности, для определения величин перед фронтом ударной волны наряду с разностным подходом предлагается использовать элементы метода характеристик. Приводится алгоритм модифицированного метода. На примере расчета методических задач показано, что применение модифицированного метода позволило повысить монотонность и точность расчета ударных волн.
Бесплатно
Статья научная
Стохастические уравнения леонтьевского типа являются частным случаем стохастических систем дифференциально-алгебраического типа. В работе изучается система, заданная в терминах текущих скоростей (симметрических производных в среднем) решения. Отметим, что по физическому смыслу текущая скорость стохастических процессов являются прямым аналогом физической скорости детерминированных процессов. Предполагается, что матрицы изучаемой системы являются прямоугольными зависящими от времени и удовлетворяют требованиям, при выполнении которых система не разрешима относительно симметрической производной. Для исследования данной системы уравнений мы используем подход, основанный на преобразовании квадратной матрицы к канонической форме Жордана и замене метрики пространства. Доказана теорема существования решений для стохастического уравнения леонтьевского типа в текущих скоростях при выполнении некоторых дополнительных условий на ее матрицы коэффициентов и свободные члены.
Бесплатно
О структуре пространства однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности
Статья научная
Рассматриваются дифференциальные уравнения, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами степени n. Фазовым пространством таких уравнений является окружность. Описаны грубые уравнения - уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого - гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве Eh(n) рассматриваемых уравнений. Описаны связные компоненты этого множества. Два грубых уравнения, имеющие особые точки, принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны. Во множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости - уравнений, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому негрубому уравнению. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в Eh(n) (бифуркационным многообразием) и состоит из уравнений, для которых все особые точки гиперболические, за исключением двух седло-узловых особых точек. Доказано, что любые два грубых уравнения можно соединить в Eh(n) гладкой дугой с конечным числом бифуркационных точек, в которых эта дуга трансверсальна бифуркационному многообразию.
Бесплатно
О сходимости последовательности операторов внутренней суперпозиции
Статья научная
В теории уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа важную роль играет оператор внутренней суперпозиции, действующий в лебеговом пространстве суммируемых функций. В статье рассматривается сходимость последовательности таких операторов. Функции, на которых определены операторы внутренней суперпозиции, заданы на локально компактном пространстве с мерами, определяемыми самими операторами.
Бесплатно
О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера-Хопфа для мероморфных матриц-функций
Статья научная
Предложен алгоритм явного решения задачи факторизации Винера-Хопфа для мероморфных в многосвязной области матриц-функций. Для рациональных матриц-функций алгоритм реализован в системе Maple в виде двух пакетов программ, позволяющих вычислять частные индексы и факторизационные множители точно, когда это возможно, или приближенно. Вычислительные эксперименты показали, что, несмотря на неустойчивость задачи, алгоритм позволяет находить приближенное решение с высокой степенью точности. Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал, грант № 07-01-96010.
Бесплатно
О факторизации Винера-Хопфа функционально-коммутативных матрицфункций
Статья научная
Для функционально-коммутативных матриц-функций специального вида предложен алгоритм явного решения задачи факторизации Винера-Хопфа. Используются элементарные факты теории представлений конечных групп. Симметрия факторизуемой матрицы-функции позволяет диагонализовать ее с помощью постоянного линейного преобразования. Тем самым задача приводится к скалярному случаю.
Бесплатно
О числе OE-цепей для заданной системы переходов
Статья научная
Ранее установлено существование ОЕ-цепи в плоском эйлеровом графе и предложен алгоритм построения такой цепи. В статье исследуется вопрос о числе ОЕ-цепей с системой переходов, индуцируемой отдельной ОЕ-цепью и установлено, что верхняя оценка этого числа не превышает удвоенной суммы количества вершин, смежных внешней грани, и суммы степеней разделяющих вершин. Построенная оценка достижима, если система переходов является системой переходов A-цепи. Исследован вопрос существования ОЕ-цепей, удовлетворяющих произвольной системе переходов.
Бесплатно
О явном описании множества предельных точек полюсов аппроксимаций Паде
Статья научная
Пусть a(z) - мероморфная функция, имеющая Я полюсов в круге \z\Известно, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде (Я -1) -й строки таблицы Паде для функции а(г) определяется доминирующими полюсами, то есть полюсами максимального модуля, имеющими максимальную кратность. В случае, когда a(z) имеет один или два доминирующих полюса, в работе [1] явно описано множество предельных точек полюсов аппроксимаций Паде для этой строки. В данной работе такое описание получено для случая трех доминирующих полюсов.
Бесплатно
