О структуре пространства однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Бесплатный доступ

Рассматриваются дифференциальные уравнения, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами степени n. Фазовым пространством таких уравнений является окружность. Описаны грубые уравнения - уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого - гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве Eh(n) рассматриваемых уравнений. Описаны связные компоненты этого множества. Два грубых уравнения, имеющие особые точки, принадлежат одной компоненте тогда и только тогда, когда они топологически эквивалентны. Во множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости - уравнений, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому негрубому уравнению. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в Eh(n) (бифуркационным многообразием) и состоит из уравнений, для которых все особые точки гиперболические, за исключением двух седло-узловых особых точек. Доказано, что любые два грубых уравнения можно соединить в Eh(n) гладкой дугой с конечным числом бифуркационных точек, в которых эта дуга трансверсальна бифуркационному многообразию.

Еще

Дифференциальное уравнение на окружности, тригонометрический полином, грубость, бифуркационное многообразие, связная компонента

Короткий адрес: https://readera.org/147232846

IDR: 147232846   |   DOI: 10.14529/mmph200203

Список литературы О структуре пространства однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

  • Palis, J. Fifty problems in dynamical systems / J. Palis, C.C. Pugh // Manning A. (eds.) Dynamical Systems-Warwick 1974. Lecture Notes in Mathematics. - Vol. 468. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1975. - P. 345-353.
  • Newhouse, S. There is a simple arc joining any two Morse-Smale flows / S. Newhouse, M.M. Peixoto // Trois études en dynamique qualitative, Astérisque. - Paris: Soc. Math. France, 1976. - Vol. 31. - P. 15-41.
  • Matsumoto Sh., There аre two isotopic Morse - Smale diffeomorphisms which cannot be joined by simple arcs / Sh. Matsumoto // Inventiones mathematicae. - 1979. - Vol. 51, no. 1. - P. 1-7.
  • Nozdrinova E.V. Rotation number as a complete topological invariant of a simple isotopic class of rough transformations of a circle / E.V. Nozdrinova // Нелинейная динамика. - 2018. - Т. 14, № 4. - С. 543-551.
  • Gutiérrez C. The connected components of Morse-Smale vector fields on two-manifolds / C. Gutiérrez, W. De Melo // Lecture Notes in Mathematics. - Vol. 597. - Springer. - 1977. - P. 230-251.
  • Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах множества векторных полей Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Труды вторых Колмогоровских чтений. - Ярославль: ЯГПУ, 2004. - С. 352-358.
  • Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия: Естественно-математические и технические науки. - 2015. - № 4. - С. 22-29.
  • Ройтенберг В.Ш. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2018. - Т. 50, № 4. - С. 398-404.
  • Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. - М.: Наука, 1967. - 487 с.
  • Хирш, М. Дифференциальная топология / М. Хирш. - М.: Мир, 1979. - 280 с.
Еще
Статья научная