О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя

В работе обсуждаются элементарные преобразования Дарбу функций Бесселя. В теореме 1 мы приводим уточненную формулировку общего метода факторизации, восходящего к Э. Шредингеру, и вводим в рассмотрение взаимосвязанные дифференциальные подстановки B1 и B2. В основной теореме 2 рассматриваются уравнения Бесселя - Риккати и элементарные преобразования Дарбу сводятся к дробно-линейным отображениям. Показано, что неподвижная точка такого отображения порождает рациональные по x решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2. Отметим, что функции Бесселя рассматриваются в данной работе как собственные функции Aψ=λψ операторов Эйлера вида A=e2t(D2t+a1Dt+a2) с постоянными коэффициентами a1 и a2. Это позволяет (лемма 3) построить асимптотические решения уравнений Бесселя - Риккати в виде степенных рядов по обратным степеням z=kx, k2=λ, x=e-t. Мы показываем, что эти формальные ряды по обратным степеням спектрального параметра k=λ--√ сходятся, если существуют рациональные решения уравнений Бесселя - Риккати из теоремы 2.