Бифуркации сшитого фокуса кусочно-гладкой динамической системы с центральной симметрией

В работе исследуются динамические системы на плоскости, задаваемые кусочно-гладкими векторными полями, зависящими от параметров. Рождение периодических траекторий из особой точки на линии разрыва поля при изменении параметров при разных условиях рассматривалось во многих работах. В частности, изучались бифуркации сшитого фокуса, аналогичные бифуркации Андронова - Хопфа негрубого фокуса гладкого векторного поля. Поскольку динамические системы, используемые в приложениях, часто обладают разного рода симметрией, несомненный интерес представляет изучение бифуркаций в таких системах. Мы рассматриваем кусочно-гладкое векторное поле, «сшитое» из гладких векторных полей, определенных в верхней и нижней полуплоскостях, не меняющееся при преобразовании симметрии относительно начала координат О и имеющее в начале координат сшитый фокус кратности один или два. Описаны бифуркации фазовых портретов в окрестности точки О, соответственно при типичных однопараметрических и двухпараметрических возмущениях векторного поля. В частности, указаны области параметров, для которых в окрестности О существуют предельные циклы.