Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе "среда-источник"

Бесплатный доступ

Получено новое точное решение волнового уравнения с источником, зависящим от искомой функции и времени. Функция источника имеет полиномиальную (третьей степени) нелинейность, а также два дополнительных аддитивных члена, в которые входят вторая и третья степени искомой функции и явная синусная зависимость от времени. Построенные соотношения описывают именно процесс возбуждения колебаний в системе «среда - нелинейный реономный источник» и поэтому не содержат в себе как частный случай решение волнового уравнения с обычной кубической нелинейностью. Физическая интерпретация результатов работы обусловлена свойствами внешнего периодического воздействия на среду. Решение получено на плоскости «искомая функция - время» и дает аналитические выражения частных производных искомой функции по пространственной координате и времени. Это позволяет изучать нестационарные свойства изолиний искомой функции: их скорость и условия, при которых эта скорость является знакопеременной. Важное влияние на поведение изолиний оказывает наклон функции источника в малой окрестности нулевого значения искомой функции. А именно: его знак определяет режим движения (дозвуковой либо сверхзвуковой) изолинии, а его модуль служит масштабом при вычислении безразмерной частоты возбуждающих колебаний. В работе рассмотрены интервалы высоких и низких частот. В каждый момент времени градиентные свойства искомой функции характеризует монотонный профиль, располагающийся в полубесконечной области на плоскости «координата - искомая функция». Указаны условия, при которых происходят периодические по времени кинк-пульсации: в отдельные мгновения исходный монотонный профиль трансформируется в кинк, соответствующий двум состояниям равновесия системы. Изучены нестационарные свойства кривизны монотонных профилей: появление точек перегиба и точек спрямления. Рассмотрены два монотонных профиля: левая и правая ветви, расположенные в полубесконечных областях, соответственно, слева и справа от начала координат. Эти ветви совершают колебательные движения, периодически сближаясь и удаляясь друг от друга. В моменты времени, когда ветви примыкают к началу координат, они образуют неподвижный разрыв, который является слабым или сильным, если наклоны ветвей соответственно разных знаков либо одного знака. Обнаружено, что в ходе такого колебательного процесса в интервале высоких частот возможен трансзвуковой переход: скорость изолинии меняется от дозвукового значения к сверхзвуковому. Построена конфигурация волнового типа: левая и правая ветви, образующие слабый либо сильный разрыв, совершают периодическое по времени движение вдоль оси координат.

Еще

Волновое уравнение, кубическая нелинейность источника, трансзвуковой переход, подвижная граница, слабый и сильный разрыв

Короткий адрес: https://sciup.org/147235828

IDR: 147235828   |   DOI: 10.14529/mmph210406

Список литературы Волновое уравнение с кубической нелинейностью и возбуждение колебаний в системе "среда-источник"

  • Додд, Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. - М.: Мир, 1988. - 694 с.
  • Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 318 с.
  • Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 528 с.
  • Аэро, Э.Л. Динамические задачи для уравнения синус-Гордона с переменными коэффициентами. Точные решения / Э.Л. Аэро // Прикладная математика и механика. - 2002. - Т. 66, Вып. 1. - С. 102-108.
  • Nonautonomus mixed nKdV-sinh-Gordon hierarchy / J.F. Gomes, G.R. de Melo, L.H. Ymai, A.H. Zimerman // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2010. - Vol. 43, no. 39. - P. 395203-395212.
  • Аэро, Э.Л. Решения уравнений синус-Гордон с переменной амплитудой / Э.Л. Аэро, А.Н. Булыгин, Ю.В. Павлов // Теоретическая и математическая физика. - 2015. - Т. 184, № 1. - С. 79-91.
  • Якушевич, Л.В. О движении кинка ДНК под действием постоянного торсионного момента / Л.В. Якушевич, В.Н. Балашова, Ф.К. Закирьянов // Матем. биология и биоинформ. - 2016. - Т. 11, Вып. 1. - С. 81-90.
  • Попов, С.П. Неавтономные солитонные решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза-синус-Гордона / С.П. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 11. - С. 1960-1969.
  • Шабловский, О.Н. Динамика неустойчивых решений волнового уравнения с источниками / О.Н. Шабловский // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика. Механика. Физика". - 2020. - Т. 12, № 4. - С. 51-61.
Еще
Статья научная