Вариационный метод решения коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения

Бесплатный доступ

Одним из основных типов обратных задач для уравнений с частными производными являются задачи, в которых подлежат определению коэффициенты уравнений или величин, входящих в них, по некоторой дополнительной информации. Такие задачи называют коэффициентными обратными задачами для уравнений с частными производными. Обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть поставлены в вариационной форме, т. е. как задачи оптимального управления соответствующими системами. Рассматривается вариационная постановка одной коэффициентной обратной задачи для двумерного эллиптического уравнения с дополнительным интегральным условием. При этом управляющая функция входит в коэффициент при решении уравнения состояния и является элементом пространства квадратично суммируемых по Лебегу функций. Целевой функционал составлен на основе дополнительного интегрального условия. Граничные условия для уравнения состояния являются смешанными, т. е. в одной части границы задано второе краевое условие, а в другой части первое краевое условие. Под решением краевой задачи при каждом фиксированном управляющем коэффициенте понимается обобщенное решение из пространства Соболева. Исследованы вопросы корректности рассматриваемой коэффициентной обратной задачи в вариационной постановки. Доказано, что рассматриваемая задача корректно поставлена в слабой топологии пространства управляющих функций, т. е. множество оптимальных управлений не пусто, слабо компактно и любая минимизирующая последовательность задачи слабо сходится к множеству оптимальных управлений. Кроме того, доказана дифференцируемость по Фреше целевого функционала и найдена формула для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства.

Еще

Эллиптическое уравнение, обратная задача, интегральное условие, вариационный метод

Короткий адрес: https://sciup.org/147158963

IDR: 147158963   |   DOI: 10.14529/mmph180102

Список литературы Вариационный метод решения коэффициентной обратной задачи для эллиптического уравнения

  • Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации/А.Н. Тихонов//ДАН СССР. -1963. -Т. 151, № 3. -С. 501-504.
  • Искендеров, А.Д. О вариационных постановках многомерных обратных задач математической физики/А.Д. Искендеров//ДАН СССР. -1984. -Т. 274, № 3. -С. 531-533.
  • Алифанов, О.А. Экстремальные методы решения некорректных задач/О.А. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. -М.: Наука, 1988. -285 c.
  • Karchevsky, A.L. Properties the misfit functional for a nonlinear one -dimensional coefficient hyperbolic inverse problem/A.L. Karchevsky//Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. -1997. -Vol. 5, no. 2. -P. 139-165.
  • Кабанихин, С.И. Обоснование метода наискорейшего спуска в интегральной постановке обратной задачи гиперболического уравнения/С.И. Кабанихин, К.Т. Искаков//Сиб. матем. журн. -2001. -Т. 42, № 3. -С. 567-584.
  • Тагиев, Р.К. Вариационный метод решения обратной задачи об определении коэффициентов эллиптических уравнений/Р.К. Тагиев//Международная конференция «Обратные задачи теоретической и математической физики», Азербайджан, Сумгаит, 5-6 мая 2003 г. -С. 29-31.
  • Искендеров, А.Д. Оптимальная идентификация коэффициентов эллиптических уравнений/А.Д. Искендеров, Р.А. Гамидов//Автоматика и телемеханика. -2011. -№ 12. -С. 144-155.
  • Iskenderov, A.D. Variational method solving the problem of identification of the coefficients of quasilinear parabolic problem/A.D. Iskenderov, R.K. Tagiyev//The 7th International Conference «Inverse Problems: modelling and Simulation» (IPMS -2014), May 26-31. -2014. -P. 31.
  • Тагиев, Р.К. Об оптимизационной постановке коэффициентной обратной задачи для параболического уравнения с дополнительным интегральным условием/Р.К. Тагиев, Р.А. Касумов//Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. -2017. -№ 45. -С. 49-59.
  • Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа/О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева. -М.: Наука, 1973. -576 c.
  • Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа/О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. -М.: Наука, 1967. -736 с.
  • Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач/Ф.П. Васильев. -М.: Наука, 1981. -400 с.
Еще
Статья научная