Условия разрешимости задачи Неймана N2 для полигармонического уравнения в шаре

Бесплатный доступ

Рассмотрен класс задач типа Неймана, зависящий от натурального параметра k, для полигармонического уравнения в единичном шаре. Задачи этого класса обобщают как известную задачу Дирихле, так и задачу Неймана. В ряде работ для класса таких задач было найдено множество необходимых условий разрешимости этой задачи и было выдвинуто предположение, что наиболее полный вариант найденных необходимых условий является также и набором достаточных условий разрешимости задачи. Для задачи N1 этот факт был известен. В настоящей работе для задачи N2, для однородного m-гармонического уравнения в единичном шаре, доказывается предположение о совпадении найденного ранее множества необходимых условий с достаточными условиями разрешимости этой задачи. Сначала с помощью замены переменных задача N2 сводится к более простой задаче Дирихле N0, решение которой считается известным. Затем находятся условия, при которых сделанная замена переменных обратима. Найденные здесь условия связаны с наличием у решения задачи Дирихле членов первого порядка малости в ее разложении в окрестности нуля. Затем используются ранее полученные результаты о связи значения m-гармонической в единичном шаре функции в центре шара со значениями нормальных производных этой функции на границе шара. Полученные условия разрешимости преобразуются к условиям, связанным со значениями интегралов по сфере от полиномов от нормальных производных искомого решения на единичной сфере, коэффициенты которых являются элементами арифметического треугольника Неймана. Найденные условия совпадают с полученными ранее необходимыми условиями разрешимости задачи N2.

Еще

Задача типа неймана, полигармоническое уравнение, условия разрешимости

Короткий адрес: https://readera.org/147234107

IDR: 147234107   |   DOI: 10.14529/mmph200202

Список литературы Условия разрешимости задачи Неймана N2 для полигармонического уравнения в шаре

  • Карачик, В.В. Класс задач типа Неймана для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Вычислительная математика и математическая физика. - 2020. - Т. 60, № 1. - С. 132-150.
  • Карачик, В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 32, № 5. - С. 51-58.
  • Бицадзе, А.В. К задаче Неймана для гармонических функций / А.В. Бицадзе // ДАН СССР. - 1990. - Т. 311, № 1. - C. 11-13.
  • Карачик, В.В. Об арифметическом треугольнике, возникающем из условий разрешимости задачи Неймана / В.В. Карачик // Математические заметки. - 2014. - Т. 96, № 2. - С. 228-238.
  • Бицадзе, А.В. О некоторых свойствах полигармонических функций / А.В. Бицадзе // Дифференциальные уравнения. - 1988. - Т. 24, № 5. - C. 825-831.
  • Turmetov, B. On solvability of the Neumann boundary value ргоЫеш for non-homogeneous bi-harmonic equation / B. Turmetov, R. Ashurov // British Journal of Mathematics & Computer Science. -2014. - Iss. 4. - P. 557-571.
  • Карачик В.В. Обобщённая третья краевая задача для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, № 6. - C. 761-770.
  • Turmetov, B. On solvability of some boundary value problems for a biharmonic equation with periodic conditions / B. Turmetov, V. Karachik // Filomat. - 2018. - Vol. 32, Iss. 3. - P. 947-953.
  • Popivanov, P. Boundary value problems for the biharmonic operator in the unit ball / P. Popivanov // AIP Conference Proceedings. - 2019. - Vol. 2159. - Iss. 1. - 030028.
  • Карачик, В.В. О задаче Дирихле-Рикье для бигармонического уравнения / В.В. Карачик, Б.Т. Торебек // Математические заметки. - 2017. - Т. 102, № 1. - С. 39-51.
  • Карачик, В.В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В.В. Карачик // Математические труды. - 2016. - Т. 19, № 2. - С. 86-108.
  • Карачик, В.В. Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. - 2012. - Т. 5, № 4. - С. 527-546.
  • Карачик, В.В. Задача Рикье-Неймана для полигармонического уравнения в шаре / B.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 5. - С. 653-662.
  • Кошанов, Б.Д. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости / Б.Д. Кошанов, А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. - 2016. -Т. 52, № 12. - С. 1666-1681.
  • Карачик, В.В. Решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных / В.В. Карачик // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51, № 8. - C. 1038-1047.
  • Карачик, В.В. О свойстве среднего для полигармонических функций в шаре / В.В. Карачик // Математические труды. - 2013. - Т. 16, № 2. - C. 69-88.
  • Карачик, В.В. Интегральные тождества на сфере для нормальных производных полигармонических функций / В.В. Карачик // Сибирские электронные математические известия. - 2017. - Т. 14. - C. 533-551.
  • Карачик, В.В. О некоторых специальных полиномах и функциях / В.В. Карачик // Сибирские электронные математические известия. - 2013. - Т. 10. - С. 205-226.
Еще
Статья научная