Статьи журнала - Уфимский математический журнал

Все статьи: 70

"Квантования" изомонодромной гамильтоновой системы H 7/2+1

"Квантования" изомонодромной гамильтоновой системы H 7/2+1

Павленко Виктор Александрович, Сулейманов Булат Ирекович

Статья научная

Рассматриваютсядвасовместныхмеждусобойлинейныхэволюционных уравнения с временами s1 и s2, зависящие от двух пространственных переменных. Эти эволюционные уравнения представляют собой аналоги временных уравнений Шредингера, определяемых двумя гамильтонианами H 7 2+1 sk (s1,s2,q1,q2,p1,p2) (k = 1,2) системы H 7 2+1, которая состоит из пары совместных между собой гамильтоновых систем уравнений, допускающих применение метода изомонодромных деформаций. Из канонических временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами H 7 2+1 sk, их данные аналоги возникают в результате формальной замены постоянной Планка на мнимую единицу. В терминах решений соответствующих линейных систем обыкновенныхдифференциальныхуравненийметодаизомонодромныхдеформаций,условием совместности которых является гамильтонова система H 7 2+1, построены явные решения данных аналогов уравнений Шредингера. В конструкции этих явных решений ключевую роль имеет замена, которая ранее использовалась при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами изомонодромной гамильтоновой системой Гарнье с двумя степенями свободы а также двух изомонодромных вырождений последней. Обсуждается вопрос о применимости данной замены и при построении решений аналогов временных уравнений Шредингера, определяемых гамильтонианами всей иерархии изомнодромных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, являющихся вырождениями этой системы Гарнье. Отмечена также связь решений гамильтоновых систем H 7 2+1 с некоторыми задачами современной нелинейной математической физики. В частности, показано, что решения этих гамильтоновых систем явным образом задаются совместными решениями уравнения Кортевега де Вриза ut + uxxx + uux = 0 и неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка, посредством которых универсальным образом описывается влияние малой дисперсии на трансформации слабых гидродинамических разрывов в сильные.

Бесплатно

Certain generating functions of Hermite-Bernoulli-Legendre polynomials

Certain generating functions of Hermite-Bernoulli-Legendre polynomials

Khan Nabiullah, Usman Talha

Статья научная

Thespecialpolynomialsofmorethanonevariableprovidenewmeansofanalysis for the solutions of a wide class of partial differential equations often encountered in physical problems. Most of the special function of mathematical physics and their generalization have been suggested by physical problems. It turns out very often that the solution of a given problem in physics or applied mathematics requires the evaluation of an infinite sum involving special functions. Problems of this type arise, e.g., in the computation of the higher-order moments of a distribution or while calculating transition matrix elements in quantum mechanics. Motivated by their importance and potential for applications in a variety of research fields, recently, numerous polynomials and their extensions have been introduced and studied. In this paper, we introduce a new class of generating functions for Hermite-Bernoulli-Legendre polynomials and study certain implicit summation formulas by using different analytical means and applying generating function. We also introduce bilateral series associated with a newly-introduced generating function by appropriately specializing a number of known or new partly unilateral and partly bilateral generating functions. The results presented here, being very general, are pointed out to be specialized to yield a number of known and new identities involving relatively simpler and familiar polynomials.

Бесплатно

Growth regularity for the arguments of meromorphic in C \{0} functions of completely regular growth

Growth regularity for the arguments of meromorphic in C \{0} functions of completely regular growth

Khrystiyanyn Andriy Yaroslavovych, Vyshynskyi Oleg Stepanovych

Статья научная

We study the asymptotic behaviour for the arguments of meromorphic function in ℂ\{0} of completely regular growth with respect to a growth function λ. We find that that the key role in the description of this behaviour is played by the function λ1(r) = ∫ 1rλ(t)∕tdt.

Бесплатно

Levi-flat world: a survey of local theory

Levi-flat world: a survey of local theory

Sukhov Alexandre

Статья научная

This expository paper concerns local properties of Levi-flat real analytic manifolds with singularities. Levi-flat manifolds arise naturally in Complex Geometry and Foliation Theory. In many cases (global) compact Levi-flat manifolds without singularities do not exist. These global obstructions make natural the study of Levi-flat objects with singularities because they always exist. The present expository paper deals with some recent results on local geometry of Levi-flat singularities. One of the main questions concerns an extension of the Levi foliation as a holomorphic foliation to a full neighborhood of singularity. It turns out that in general such extension does not exist. Nevertheless, the Levi foliation always extends as a holomorphic web (a foliation with branching) near a non-dicritical singularity. We also present an efficient criterion characterizing these singularities.

Бесплатно

Minimum modulus of lacunary power series and h-measure of exceptional sets

Minimum modulus of lacunary power series and h-measure of exceptional sets

Salo Tetyana Mykhailivna, Skaskiv Oleh Bohdanovych

Статья научная

We consider some generalizations of Fenton theorem for the entire functions represented by lacunary power series. Let f(z) = ∑︀+∞ k=0 fkznk, where (nk) is a strictly increasing sequence of non-negative integers. We denote by Mf(r) = max{|f(z)|: |z| = r}, mf(r) = min{|f(z)|: |z| = r}, µf(r) = max{|fk|rnk : k > 0} themaximummodulus,theminimummodulusandthemaximumtermoff,respectively.Let h(r)beapositivecontinuousfunctionincreasingtoinfinityon[1,+∞)withanon-decreasing derivative. For a measurable set E ⊂ [1,+∞) we introduce h-meas(E) =∫︀E dh(r) r. In this paper we establish conditions guaranteeing that the relations Mf(r) = (1 + o(1))mf(r), Mf(r) = (1 + o(1))µf(r) are true as r → +∞outside some exceptional set E such that h-meas(E)

Бесплатно

Nevanlinna's five-value theorem for algebroid functions

Nevanlinna's five-value theorem for algebroid functions

Rathod Ashok

Статья научная

By using the second main theorem of the algebroid function, we study the following problem. Let W1(z) and W2(z) be two ν-valued non-constant algebroid functions, aj (j = 1,2,...,q) be q > 4ν + 1 distinct complex numbers or ∞. Suppose that k1 > k2 >... > kq,m are positive integers or ∞, 1 6 m 6 q and δj > 0, j = 1,2,...,q, are such that (︂1 + 1 km)︂ q ∑︁ j=m 1 1 + kj + 3ν + q ∑︁ j=1 δj νkm (1 + km) q ∑︀ j=1 kj kj+1 -2ν(1 + km) + (m-2ν - q ∑︀ j=1 δj)km, then W1(z) ≡ W2(z). This result improves and generalizes the previous results given by Xuan and Gao.

Бесплатно

On basicity of eigenfunctions of second order discontinuous differential operator

On basicity of eigenfunctions of second order discontinuous differential operator

Bilalov Bilal Telman Oglu, Gasymov T.B.

Статья

Бесплатно

On integrability of a discrete analogue of Kaup-Kupershmidt equation

On integrability of a discrete analogue of Kaup-Kupershmidt equation

Garifullin Rustem Nailevich, Yamilov Ravil Islamovich

Статья научная

We study a new example of the equation obtained as a result of a recent generalized symmetry classi cation of di erential-di erence equations de ned on ve points of an one-dimensional lattice. We establish that in the continuous limit this new equation turns into the well-known Kaup-Kupershmidt equation. We also prove its integrability by constructing an L - A pair and conservation laws. Moreover, we present a possibly new scheme for constructing conservation laws from L-A pairs. We show that this new di erential-di erence equation is similar by its properties to the discrete Sawada-Kotera equation studied earlier. Their continuous limits, namely the Kaup Kupershmidt and Sawada-Kotera equations, play the main role in the classi cation of fth order evolutionary equations made by V.G. Drinfel'd, S.I. Svinolupov and V.V. Sokolov.

Бесплатно

On the growth of solutions of some higher order linear differential equations with meromorphic coefficients

On the growth of solutions of some higher order linear differential equations with meromorphic coefficients

Saidani Mansouria, Belaidi Benharrat

Статья научная

In this paper, by using the value distribution theory, we study the growth and the oscillation of meromorphic solutions of the linear differential equation f(k) +(︁Ak-1,1(z)ePk-1(z) + Ak-1,2(z)eQk-1(z))︁f(k-1) +···+(︁A0,1(z)eP0(z) + A0,2(z)eQ0(z))︁f = F(z), where Aj,i(z)(̸≡ 0) (j = 0,...,k-1), F(z) are meromorphic functions of a finite order, and Pj(z),Qj(z) (j = 0,1,...,k - 1;i = 1,2) are polynomials with degree n > 1. Under some conditions, we prove that as F ≡ 0, each meromorphic solution f ̸≡ 0 with poles of uniformly bounded multiplicity is of infinite order and satisfies ρ2(f) = n and as F ̸≡ 0, there exists at most one exceptional solution f0 of a finite order, and all other transcendental meromorphic solutions f with poles of uniformly bounded multiplicities satisfy λ(f) = λ(f) = ρ(f) = +∞ and λ2 (f) = λ2 (f) = ρ2 (f) 6 max{n,ρ(F)}. Our results extend the previous results due Zhan and Xiao [19].

Бесплатно

Pauli operators and the ∂-Neumann problem

Pauli operators and the ∂-Neumann problem

Haslinger Friedrich

Статья научная

We apply methods from complex analysis, in particular the ∂-Neumann operator, to study spectral properties of Pauli operators. For this purpose we consider the weighted ∂-complex on Cn with a plurisubharmonic weight function. The Pauli operators appear at the beginning and at the end of the weighted ∂-complex. We use the spectral properties of the corresponding ∂-Neumann operator to answer the question when the Pauli operators are with compact resolvent. It is also of importance to know whether the related Bergman space of entire functions is of infinite dimension. The main results are formulated in terms of the properties of the Levi matrix of the weight function. If the weight function is decoupled, one gets additional informations. Finally, we point out that a corresponding Dirac operator fails to be with compact resolvent.

Бесплатно

Quasi-elliptic functions

Quasi-elliptic functions

Khrystiyanyn Andriy Yaroslavovych, Lukivska Dz.V.

Статья научная

We study certain generalizations of elliptic functions, namely quasi-elliptic functions. Let p = eiα, q = eiβ, α, β ∈ R. A meromorphic in C function g is called quasi-elliptic if there exist ω1,ω2 ∈ C*, Im ω2 ω1 > 0, such that g(u+ω1) = pg(u), g(u+ω2) = qg(u) for each u ∈ C. In the case α = β = 0 mod 2π this is a classical theory of elliptic functions. A class of quasi-elliptic functions is denoted by 𝒬ℰ. We show that the class 𝒬ℰ is nontrivial. For this class of functions we construct analogues ℘αβ, ζαβ of ℘ and ζ Weierstrass functions. Moreover, these analogues are in fact the generalizations of the classical ℘ and ζ functions in such a way that the latter can be found among the former by letting α = 0 and β = 0. We also study an analogue of the Weierstrass σ function and establish connections between this function and ℘αβ as well as ζαβ. Let q,p ∈ C*, |q|

Бесплатно

Third Hankel determinant for the inverse of reciprocal of bounded turning functions has a positive real part of order alpha

Third Hankel determinant for the inverse of reciprocal of bounded turning functions has a positive real part of order alpha

Venkateswarlu B., Rani N.

Статья научная

Let RT be the class of functions f(z) univalent in the unit disk E = z : |z| 0, z ∈ E, and H3(1) be the third Hankel determinant for inverse function to f(z). In this paper we obtain, first an upper bound for the second Hankel determinant, |t2t3-t4|, and the best possible upper bound for the third Hankel determinant H3(1) for the functions in the class of inverse of reciprocal of bounded turning functions having a positive real part of order alpha.

Бесплатно

Адиабатическое приближение в задаче о захвате в резонанс

Адиабатическое приближение в задаче о захвате в резонанс

Калякин Леонид Анатольевич

Статья научная

Две модельные задачи о захвате в резонанс анализируются методом усреднения, который приводит к адиабатическому приближению в главном члене асимптотики. Основной целью является приближенное (с использованием малого параметра) описание области захвата в резонанс. Эта область на фазовой плоскости состоит из точек, из которых стартуют резонансные решения с неограниченно растущей энергией. Область захвата зависит от дополнительного параметра, входящего в уравнения. Демонстрируется непригодность адиабатического приближения, когда область захвата становится узкой. В этом случае требуется значительное изменение метода усреднения. В результате для главного члена асимптотики возникает система нелинейных дифференциальных уравнений, которая не всегда оказывается интегрируемой.

Бесплатно

Аналитические функции с гладким модулем граничных значений

Аналитические функции с гладким модулем граничных значений

Шамоян Файзо Агитович

Статья научная

Пусть f - аналитическая функция в единичном круге D, непрерывная вплоть до его границы Γ,f(z) ̸= 0,z ∈ D. Предположим f имеет на Γ модуль непрерывности ω(|f|,δ). В статье устанавливается оценка ω(f,δ) 6 Aω(|f|,√δ), где A - некоторое неотрицательное число и точность данной оценки. Кроме того, в статье устанавливается многомерный аналог указанного результата. В доказательстве основной теоремы существенную роль играет теорема типа теорем Харди-Литтлвуда о гельдеревских классах аналитических функций в единичном круге.

Бесплатно

Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами

Аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами

Хубиев Казбек Узеирович

Статья научная

В работе исследуется аналог задачи Трикоми для характеристически нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами. Доказана теорема единственности и существования решения исследуемой задачи. Единственность решения доказывается с помощью принципа максимума, существование - методом интегральных уравнений.

Бесплатно

Аналог теоремы боля для одного класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Аналог теоремы боля для одного класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных

Мухамадиев Эргашбой, Наимов Алижон Набиджанович, Сатторов Ахмад Хасанович

Статья научная

Для одного класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков с постоянными коэффициентами исследован вопрос о существовании и единственности ограниченного во всем пространстве решения. Сформулирована и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях существования и единственности ограниченного решения для исследуемого класса уравнений. Данная теорема является аналогом теоремы Боля, известной в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В одном частном случае условия однозначной разрешимости выражены через свойства коэффициентов уравнения и приведено интегральное представление ограниченного решения.

Бесплатно

Аппроксимация решений сингулярных интегродифференциальных уравнений полиномами Эрмита-Фейера

Аппроксимация решений сингулярных интегродифференциальных уравнений полиномами Эрмита-Фейера

Федотов Александр Иванович

Статья научная

Сингулярные интегральные и интегродифференциальные уравнения имеющие обширные приложения исследовались отечественными и зарубежными математиками с начала 20-го столетия, и к 70-м годам была построена их законченная теория. Из этой теории известно, что такие уравнения имеют точные решения лишь в редких частных случаях, поэтому большое развитие получили приближенные методы решения этих уравнений, а также методики обоснования приближенных методов. Под обоснованием приближенного метода решения операторных уравнений здесь понимается доказательство существования и единственности приближенного решения, оценка его погрешности и доказательство сходимости приближенных решений к точному.Крометого,длясравненийприближенныхметодоврешениябыласозданатеория их оптимизации. Однако зачастую, в зависимоти от конкретной задачи, существенную роль играет также вид приближенного решения. В частности, иногда желательно иметь приближенное решение в виде сплайна, иногда в виде полинома, иногда достаточно значений искомой функции в узлах. Естественно, что в зависимости от выбора вида приближенного решения выбирается и методика обоснования такого приближенного метода. Однако арсенал методик обоснования приближенных методов пока еще скуден, и поэтому теория обоснования находится в настоящее время в стадии интенсивной разработки. В данной работе обоснован приближенный метод решения полных сингулярных интегродифференциальных уравнений в периодическом случае. Приближенное решение при этом ищется в виде тригонометрического интерполяционного полинома Эрмита- Фейера. Для обоснования этого приближенного метода использована методика разработанная Б.Г. Габдулхаевым и его учениками для обоснования приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений. Доказана сходимость метода, получены оценки погрешности приближенного решения.

Бесплатно

Асимптотика по параметру решения эллиптической краевой задачи в окрестности линии внешнего касания характеристик предельного уравнения

Асимптотика по параметру решения эллиптической краевой задачи в окрестности линии внешнего касания характеристик предельного уравнения

Шайгарданов Юрий Закирович

Статья научная

В ограниченной области Q ⊂ R3 с гладкой границей Γ рассматривается краевая задача εAu- ∂u ∂x3 = f(x), u|Γ = 0. Здесь A - эллиптический оператор второго порядка, ε - малый параметр. Предельным при ε = 0 является уравнение первого порядка. Его характеристики - прямые, параллельные оси Ox3. Относительно области Q предполагается, что характеристика либо пересекает Γ в двух точках либо касается Γ извне. Множество точек касания образует замкнутую гладкую кривую. В статье построена асимптотика при ε → 0 решения исследуемой задачи в окрестности этой кривой. Для построения асимптотики используется метод согласования асимптотических разложений.

Бесплатно

Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций

Базис в инвариантном подпространстве аналитических функций

Кривошеева Олеся Александровна

Статья научная

В работе исследуется задача представления функций из инвариантного подпространства аналитических функций в выпуклой области комплексной плоскости. Получено достаточное условие существования базиса в инвариантном подпространстве, состоящего из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в этом подпространстве. Линейные комбинации строятся по системе экспоненциальных мономов, показатели которых разбиты на относительно малые группы. Применяется метод, использующий интерполирующую функцию А.Ф. Леонтьева. При этом дается полное описание пространства коэффициентов рядов, осуществляющих представление функций из инвариантного подпространства. Найдены также необходимые условия представления функций из произвольного инвариантного подпространства допускающего спектральный синтез в произвольной выпуклой области. Используется метод построения специальных рядов экспоненциальных многочленов, разработанный ранее автором.

Бесплатно

Влияние стратификации на группы конформных преобразований псевдоримановых орбифолдов

Влияние стратификации на группы конформных преобразований псевдоримановых орбифолдов

Жукова Нина Ивановна

Статья научная

Исследуются группы конформных преобразований n-мерных псевдоримановых орбифолдов при n ≥ 3. Метод Алексеевского исследования групп конформныхпреобразованийримановыхмногообразийраспространеннаминапсевдоримановы орбифолды. Показано, что на каждой страте положительной размерности такого орбифолда индуцируется конформная псевдориманова структура. Благодаря этому при k ∈{0,1}∪{3,...,n-1} получены точные оценки размерности полных существенных групп конформных преобразований n-мерных псевдоримановых орбифолдов, имеющих k-мерные страты, на которых индуцируются существенные группы конформных преобразований. При получении указанных оценок ключевым фактом является то, что любая связная группа преобразований орбифолда сохраняет каждую связную компоненту любой его страты. В работе также исследуется влияние стратификации n-мерного псевдориманова орбифолда на группу преобразований подобия этого орбифолда при n ≥ 2. Точностьполученныхоценокразмерностиполныхсущественныхгруппконформных преобразований и групп подобий n-мерных псевдоримановых орбифолдов доказана с помощью построения соответствующих примеров локально плоских псевдоримановых орбифолдов.

Бесплатно

Журнал