Три теоремы о матрицах Вандермонда

Автор: Артисевич Анжела Евгеньевна, Шабат Алексей Борисович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.22, 2020 года.

Бесплатный доступ

Рассматриваются алгебраические вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье, определенным при помощи симметричной матрицы Вандермонда Λ. Основное внимание в первых двух теоремах уделяется выработке формулировок, независящих от размера N×N матрицы Λ и явных формул для элементов матрицы Λ через корни уравнения λN=1. В третьей теореме рассматриваются рациональные функции f(λ), λ∈C, удовлетворяющие условию "вещественности" f(λ)=f(1λ) на всей комплексной плоскости и связанные с известной задачей о коммутировании симметричных матриц Вандермонда Λ с (симметричными) трехдиагональными матрицами T. Показано, что уже несколько первых уравнений коммутирования и указанное выше условие вещественности определяют вид рассматриваемых рациональных функций f(λ), а найденные уравнения для элементов трехдиагональных матриц T не зависят от порядка N коммутирующих матриц. Полученные уравнения и приведенные примеры позволяют высказать гипотезу о том, что рассматриваемые рациональные функции являются обобщением многочленов Чебышева. В определенном смысле аналогичная гипотеза была высказана в недавно опубликованной в журнале "Теоретическая и математическая физика" работе В. М. Бухштабера с соавторами, где обсуждаются приложения этих обобщений в современной математической физике.

Еще

Матрица вандермонда, дискретное преобразование фурье, условия коммутирования, многочлены лорана

Короткий адрес: https://sciup.org/143170629

IDR: 143170629   |   DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57532

Список литературы Три теоремы о матрицах Вандермонда

  • Бурланков Д. Е., Кузнецов М. И., Чирков А. Ю., Яковлев В. А. Компьютерная алгебра. Нижний Новгород: Нижегородский гос. ун-т им. Н. И. Лобачевского, 2002. 105 с.
  • Grunbaum F. A. The eigenvectors of the discrete Fourier transform: a version of the Hermite functions // J. Math. Anal. Appl. 1982. Vol. 88, № 2. P. 355-363. DOI: 10.1016/0022-247X(82)90199-8
  • Шабат А. Б. Симметрические многочлены и законы сохранения // Владикавк. мат. журн. 2012. Т. 14, вып. 4. С. 83-94. DOI: 10.23671/VNC.2012.14.11014
  • Бухштабер В. М., Тертычный С. И. Семейство явных решений уравнений резистивной модели перехода Джозефсона // Теор. и мат. физика. 2013. Т. 176, № 2. С. 163-188. DOI: 10.4213/tmf8512
Статья научная