Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругам

Пусть M и N - многообразия, D - область в M и E⊂D - замкнутое относительно D множество. Проблема стирания особенностей состоит в следующем: найти условия, при которых любое отображение f:D∖E→N из заданного класса можно продолжить до отображения f:D→N с сохранением класса. Если указанное продолжение существует, то множество E называют устранимым множеством в рассматриваемом классе отображений. Целью данной работы является исследование проблемы стирания особенностей в контексте свойств ядра локального преобразования Помпейю. Изучается класс K+, состоящий из непрерывных функций на комплексной плоскости C, имеющих нулевые интегралы по всем кругам из C, конгруэнтным единичному кругу относительно сферической метрики. Аналогом группы евклидовых движений в этом случае является группа дробно-линейных преобразований PSU(2). Найдено точное условие, при котором функции рассматриваемого класса, доопределенные соответствующим образом в бесконечно удаленной точке, обладают указанным свойством на расширенной комплексной плоскости C. Доказательство основного результата базируется на подходящем описании класса K+. Центральным инструментом в этом описании являются ряды Фурье по сферическим гармоникам. Показано, что коэффициенты Фурье функции f∈K+ представимы рядами по функциям Якоби. Дальнейшее доказательство состоит в изучении асимптотического поведения указанных рядов при подходе к особой точке. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных со сферическими средними.