О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Бесплатный доступ

Динамическая система, заданная дифференциальным уравнением на многообразии - фазовом пространстве системы, называется грубой, если топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Понятие грубости возникло из представления, что существенные свойства динамической системы, описывающей реальный процесс, не должны меняться при малых изменениях параметров системы. К настоящему времени получены естественные необходимые и достаточные условия грубости динамических систем на замкнутых многообразиях любой размерности. Однако если грубость рассматривать в более узких классах динамических систем, в частности, в пространстве систем, заданных дифференциальными уравнениями с полиномиальными правыми частями, то условия грубости не исследованы даже для малых размерностей фазового пространства. В настоящей работе рассматриваются динамические системы, заданные дифференциальными уравнениями, правые части которых являются тригонометрическими полиномами степени, не превосходящей натурального числа n. Фазовым пространством таких систем является окружность. Описаны уравнения, грубые относительно пространства E(n) всех таких уравнений. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого - гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве E(n). В множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в E(n) и состоит из уравнений, для которых все нули правой части простые, за исключением одного двукратного нуля.

Еще

Дифференциальное уравнение на окружности, тригонометрический полином, грубость, бифуркационное многообразие

Короткий адрес: https://sciup.org/147232810

IDR: 147232810   |   DOI: 10.14529/mmph190203

Список литературы О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

  • Hayashi, S. Connecting Invariant Manifolds and the Solution of C1 Stability and Ω-Stability Conjectures for Flows / S. Hayashi // Annals of Mathematics. Second Series. - 1997. - Vol. 145, no. 1. - P. 81-137.
  • Robinson, C. Structural stability of vector fields / C. Robinson // Annals of Mathematics. Second Series. - 1974. - Vol. 99, no. 1. - P. 154-175.
  • Abraham, R. Non-genericity of Ω-stability / R. Abraham, S. Smale // Global Analysis, Proc. of Symposia in Pure Mathematics. 14. - Publ. Am. Math. Soc, 1970. - P. 5-8.
  • Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение / Ж. Палис, В. Мелу. - М.: Мир, 1986. - 301 с.
  • Sotomayor, J. Generic one-parameter families of vector fields on two-dimensional manifolds / J. Sotomayor // Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 1974. - Vol. 43. - Issue 1. - P. 5-46.
Статья научная