# Inverse problems of recovering the boundary data with integral over determination conditions

Автор: Pyatkov S.G., Verzhbitskii M.A.

Рубрика: Математика

Статья в выпуске: 2 т.10, 2018 года.

Бесплатный доступ

In the present article we examine an inverse problem of recovering unknown functions being part of the Dirichlet boundary condition together solving an initial boundary problem for a parabolic second order equation. Such problems on recovering the boundary data arise in various tasks of mathematical physics: control of heat exchange prosesses and design of thermal protection systems, diagnostics and identification of heat transfer in supersonic heterogeneous flows, identification and modeling of heat transfer in heat-shielding materials and coatings, modeling of properties and heat regimes of reusable heat protection of spacecrafts, study of composite materials, etc. As the overdetrermination conditions we take the integrals of a solution over the spatial domain with weights. The problem is reduced to an operator equation of the Volterra-type. The existence and uniqueness theorem for solutions to this inverse problem is established in Sobolev spaces. A solution is regular, i. e., all generalized derivatives occuring into the equation exists and are summable to some power. The proof relies on the fixed point theorem and bootstrap arguments. Stability estimates for solutions are also given. The solvability conditions are close to necessary conditions.

Еще

Inverse problem, parabolic equation, boundary and initial condition, sobolev space, existence and uniqueness theorem, solvability

IDR: 147158975   |   DOI: 10.14529/mmph180204

## Список литературы Inverse problems of recovering the boundary data with integral over determination conditions

• Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы/Х. Трибель. -М.: Мир, 1980. -664 с.
• Алифанов, О.М. Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена/О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, А.В. Ненарокомов. -Москва: Янус-К, 2009. -299 с.
• Ozisik, M.N. Inverse heat transfer/M.N. Ozisik, H.A.B. Orlando. -New-York: Taylor & Francis, 2000. -352 p.
• Костин, А.Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I/А.Б. Костин, А.И. Прилепко//Дифференц. уравнения. -1996. -Т. 32, № 1. -С. 107-116.
• Борухов, В.Т. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса/В.Т. Борухов, В.И. Корзюк//Вестник Белорусского университета. -1998. -Сер. 1, № 3. -C. 54-57.
• Трянин, А.П. Определение коэффициентов теплообмена на входе в пористое тело и внутри него из решения обратной задачи/А.П. Трянин//Инженерно-физический журнал. -1987. -Т. 52, № 3. -С. 469-475.
• Борухов, В.Т. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам/В.Т. Борухов, П.Н. Вабищевич, В.И. Корзюк//Инженерно-физический журнал. -2000. -Т. 73, № 4. -C. 742-747.
• Короткий, А.И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости/А.И. Короткий, Д.А. Ковтунов//Тр. ИММ ДВО АН. -2006. -Т. 12, № 2. -C. 88-97.
• Абылкаиров, У.У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения/У.У. Абылкаиров//Математический журнал. -2003. -Т. 3, № 4(10). -С. 5-12.
• Абылкаиров, У.У. Обратная задача для системы тепловой конвекции/У.У. Абылкаиров, А.А. Абиев, С.Е. Айтжанов//Тезисы докладов Молодежной международной научной школы-конференции «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». -Новосибирск, ИМ СО РАН, 2009. -C. 10-11.
• Кожанов, А.И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нелинейных нестационарных уравнений/А.И. Кожанов//Сибирские электронные математические известия. -2015. -Т. 12. -C. 264-275.
• Iskenderov, A.D. Inverse problem for a linear system of parabolic equations/A.D. Iskenderov, A.Ya. Akhundov//Doklady Mathematics. -2009. -Vol. 79, no. 1. -P. 73-75.
• Ismailov, M.I. Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data/M.I. Ismailov, F. Kanca//Inverse Problems in Science and Engineering. -2012. -Vol. 20, № 24. -P. 463-476.
• Li, J. An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation/J. Li, Y. Xu//J. Appl. Math. Comput. -2010. -Vol. 34. -P. 195-206.
• Kerimov, N.B. An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions/N.B. Kerimov, M.I. Ismailov//J. of Mathematical Analysis and Applications. -2012. -Vol. 396. -Issue 2. -P. 546-554.
• Kozhanov, A.I. Parabolic equations with unknown time-dependent coefficients/A.I. Kozhanov//Comput. Math. and Math. Phys. -2017. -Vol. 57, № 6. -P. 956-966.
• Пятков С.Г. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии/С.Г. Пятков, А.Е. Сафонов//Математические заметки СВФУ. -2014. -Т. 21, № 2. -C. 117-130.
• Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии/Ю.А. Криксин, С.Н. Плющев, Е.А. Самарская, В.Ф. Тишкин//Математическое моделирование. -1995. -Т. 7, № 11. -С. 95-108.
• Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics/A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin. -New-York: Marcel Dekker, Inc. 1999. -744 p.
• Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type/M. Ivancho//Mathematical Studies Monograph Series 10. -Lviv: VNTL Publishers, 2003. -238 p.
• Вержбицкий, М.А. O некоторых обратных задачах об определении граничных режимов/М.А. Вержбицкий, С.Г. Пятков//Матем. Заметки СВФУ. -2016. -Т. 23, № 2. -С. 3-16.
• Ladyženskaja, O.A. Linear and quasilinear equations of parabolic type/O.A. Ladyženskaja, V.A. Solonnikov, N.N. Uralceva//Translations of Mathematical Monographs. -Vol. 23. -American Mathematical Society, Providence, R.I., 1968. -648 p.
• Denk, R. Optimal Lp-Lq-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data/R. Denk, M. Hieber, J. Prüss//Math. Z. -2007. -Vol. 257, no. 1. -P. 193-224.
Еще
Статья научная